… oder warum es sinnvoll sein kann, mit 1 zu multiplizieren.

Gestern haben wir wieder einmal über ein paar Aufgaben gesessen, die im Rahmen der Vorlesung “Mathematik 1” für Medieninformatiker bei uns angeboten werden (Ich glaube Aufgabenblatt 1, Aufgab 4). Es waren drei an der Zahl und die Aufgabenstellung jedes Mal gleich: Berechne den Grenzwert der Zahlenfolge.

Bei näherem Hinsehen war dann klar, dass es dabei um geometrische Reihen ging. Die Formel dafür steht im Tafel:

[Summe für n=1 bis unendlich ( (a1)*q^(n-1) ) ]= (a1)/(1-q)

Mathematische Formeln sind hier gerade etwas schwer zu realisieren, aber ich hoffe, ihr könnt euch den Teil einfach vorstellen (Summenzeichen). Nehmen wir also die einfachere Aufgabe, bei der es eben Sinn macht, mit 1 zu multiplizieren:

[Summe für k=1 bis unendlich ( 3/(4^k) ) ]

Der Einfachheit halber, betrachten wir jetzt nur noch den Term, denn der Bereich, für den aufsummiert wird (k=1 bis unendlich) stimmt ja bereits mit der Formel überein.

Zunächst sollten wir dafür sorgen, dass der Exponent “k” nicht länger unter dem Bruchstrich steht. Hierfür trennen wir die 3 ebenfalls von dem Bruch:

3/(4^k) = 3*(1/(4^k)) = 3*(1/4)^k

Nun müssen wir es irgendwie schaffen, aus dem Exponenten “k” einen Exponenten “k-1” zu machen. Und genau hier hilft es, mit 1 zu multiplizieren. Dafür muss man lediglich die Potenzgesetze ein wenig beherrschen, denn es gilt ja:

(a^m)*(a^n) = a^(m+n)

Unser Ziel heißt jedoch nicht a^(m+n) sondern eben (1/4)^(k-1).

(1/4)^(k-1) = (1/4)^k*(1/4)^(-1)

Soweit so gut. Wir müssten also das (1/4)^k einfach nur mit (1/4)^(-1) multiplizieren. Nun dürfen wir aber nicht einfach den Wert verändern. Aber auch hier helfen uns die Potenzgesetze:

a^(1)*a^(-1) = a^(1-1) = a^(0) = 1

Bekanntlich dürfen wir mit 1 multiplizieren, da wir dadurch nicht den Wert verändern:

(1/4)^k * (1/4)^(-1) * (1/4)^(1) = (1/4)^(k-1) * (1/4)^(1)

Wir haben also den Exponenten (k-1) erhalten, ohne den Wert zu verändern. Angewendet auf unseren Therm steht dort nun also:

3 * (1/4)^(k-1) * (1/4)^(1) = (3/4) * (1/4)^(k-1)

Und schon haben wir die gleiche Form wie in der Formel, die man im Tafelwerk nachschlagen kann. Wir müssen also nur noch einsetzen und erhalten das Ergebnis:

a1 = 3/4
q = 1/4

Eingesetzt in Formel = (3/4) / (1-(1/4) = (3/4) / (3/4) = 1

Gar nicht so schlimm, oder? ^^’ Sollte es Bedarf zu einer Erklärung geben, wie man den Bereich der Summe anpassen kann, sagt einfach Bescheid.