Hinweis: Das Thema kommt erst am Freitag dran. Aber es schadet ja nicht, etwas zwei Mal zu hören. Ganz im Gegenteil… Das Skript findet ihr auf der Website von Herrn Schütt und dort befassen sich die Seiten (15-17) mit der Völlständigen Induktion.

Ziel: Es ist eine Gleichung/Ungleichung gegeben und ihr sollt nun beweisen, dass diese stimmt (oder auch nicht stimmt).

1. Schritt: Setze für den Parameter(in den Beispielen ist es n, hier für aber immer die Aufgabenstellung lesen!) einen Wert ein. Da es sich bei dem Wertebereich der Variable um den der natürlichen Zahlen handelt, nehmen wir den kleinsten Wert (also 1). Sollte es durch die Aufgabenstellung Einschränkungen für das n geben (siehe 3. Beispiel im Skript), sind diese natürlich zu beachten und dann wird der entsprechend kleinstmögliche Wert genommen.

Warum der kleinste Wert? Es würde auch mit jedem größeren Wert funktionieren, aber wenn ihr einen größeren Wert nehmt, gilt eure Beweisführung nicht für die kleineren Werte.

2. Schritt: Für den Fall, dass die gegebene Formel wahr ist, muss sie auch für jede nächst größeren Wert stimmen. Ist euer Parameter also (n), währe der Nachflolger entsprechend (n+1). Entsprechend setzten wir (n+1) nun für (n) ein. Vergesst nicht, dass ihr das auf beiden Seiten der Gleichung bzw. Ungleichung tun müsst! Diese neue Gleichung müsst ihr nun soweit vereinfachen, dass sichtbar wird, ob sie nun wahr oder falsch ist.

Tipp1: Schaut euch die Potenzgesetze an! Es gilt: (a^n)*(a^m)=a^(n+m) also gilt auch: a^(n+1)=(a^n)*(a^1)

Tipp2: Beim Umformen erhaltet ihr auf der einen Seite vielleicht einen Therm, der den für wahr erklärten Therm (der wo nur (n) drin steht) wieder enthält. Bei einer Gleichung könnt ihr hier entsprechend einsetzen (siehe Beispiel 2). Bei einer Ungleichung erhaltet ihr so eine Informtion über den Therm, die ihr ebenfalls nutzen könnt. Stellt euch einfach vor, ihr wollt einen Rucksack kaufen. Und ihr wisst, da müssen nie mehr als 10 Bücher drin sein. Wenn in den Rucksack eure 10 Bücher hineinpassen, dann werden auch weniger Bücher hineinpassen. Wir setzen bei Ungleichungen dann also den größtmöglichen (bzw. kleinstmöglichen) Wert ein. Das ist im Prinzip der, der auf der anderen Seite der Ungleichung steht. ;)

Abschluss: Ich weiß nicht, ob es verlangt wird. Aber theoretisch müsstet ihr nach Ende eurer Beweisführung einen Antwortsatz hinschreiben, in dem dann nochmal steht, dass die zu überprüfende Aussage (Gleichung/Ungleichung) wahr bzw. falsch ist.

Tipp3: Wer gern noch etwas zum Üben möchte: Schaut einmal in eurem Tafelwerk nach “Speziellen Partialsummen”. Parallel zu Beispiel 2 (Summe der ersten n natürlichen Zahlen) kann man die Vollständige Induktion auch ganz einfach für die “Summe der ersten n geraden Zahlen” und die “Summe der ersten n ungeraden Zahlen” durchführen. Läuft ganz genauso ab.